湖南省长沙市正规的机构可以办理父母子之间的亲子鉴定手续。由于近几年国家对办理亲子鉴定非常重视，为了保证亲子鉴定手续的正规性，长沙市实施了严格的亲子鉴定管理与审批制度，因此，现在大部分市内机构都可以办理父母子亲子鉴定手续。
首先，长沙市可以由湖南省司法厅认可的三家司法鉴定机构办理父母子亲子鉴定手续，分别是湖南省司法鉴定研究所、湖南省司法鉴定中心，和湖南省司法鉴定所，它们是湖南省法庭所使用的官方正规司法鉴定机构，可以鉴定出父母子间的家庭亲缘关系。
其次，长沙市也可以由湖南省医学科学院批准的医学检验研究所办理父母子亲子鉴定手续。湖南省医学科学院批准的医学检验研究所是一个中央级机构，可以进行家庭亲缘关系的基因鉴定，由具有专业知识和技能的技术人员进行操作，也可保证鉴定结果的正确性。
此外，一些正规的民办机构也可以受理父母子亲子鉴定的业务。为了保证正规可靠，你可以在长沙市民政局网站上查询已许可的民办机构，这样也可以尽可能避免与非法机构发生纠纷。
最后，可以通过长沙市法定报纸上发布的法院公告来了解长沙市各个机构办理父母子亲子鉴定业务的情况，这样也能保证亲子鉴定的正规性。
总之，长沙市实施的严格的亲子鉴定管理制度与审批程序使市内的大部分机构得以办理亲子鉴定业务，其中不仅包括湖南省司法厅认可的三家司法鉴定机构以及湖南省医学科学院批准的医学检验研究所，还有正规的民办机构可受理，总之，做亲子鉴定前一定要仔细咨询，才能保证鉴定过程正规安全有效。
